Question

如圖，三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，平面A₁AB⊥平面ABC，平面A₁AC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=3．
（Ⅰ） 求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ） 求異面直線AB₁與BC₁所成的角的余弦值；
（Ⅲ） 求點B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析：（I）由已知中平面A₁AC⊥平面ABC，∠BAC=90°，由面面垂直的性質可得CA⊥A₁A，及BA⊥A₁A，進而由線面垂直的判定定理得到AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）以A為坐標原點，線段AB，AC，A₁A所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，分別求出異面直線AB₁與BC₁的方向向量代入向量夾角公式，即可求出異面直線AB₁與BC₁所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求出平面ABC₁的法向量

m

，代入點到平面距離公式d=|

AB1 • m

m

|，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面A₁AB⊥平面ABC，平面A₁AB∩平面ABC=AB，CA⊥AB
∴CA⊥平面A₁AB
∴CA⊥A₁A…（4分）
同理 BA⊥A₁A，
又  CA∩BA=A
∴A₁A⊥平面ABC…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB，AC，A₁A兩兩垂直，
因此可以A為坐標原點，線段AB，AC，A₁A所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz  則                …（7分）

AB1

=（2，0，3），

BC1

=

AC1

-

AB

=（-2，2，3）…（8分）
∴cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

|AB1 |•| BC1|

=

5

221

…9分
∴異面直線異面直線AB₁與BC₁所成的角的余弦值是

5

221

  …（10分）
（Ⅲ）設平面ABC₁的法向量為

m

=（x，y，z），
則

AC1

=（0，2，3），

AB

=（2，0，0）
∴

AC1 • m =0 AB • m =0

，即

2y+3z=0 2x=0

令y=-3，則

m

=（0，-3，2）…（12分）
∴d=|

AB1 • m

m

|=

6 13

13

∴點B₁到平面ABC₁的距離是

6 13

13

 …（14分）

點評：本題考查的知識點是點到面距離的計算，線面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中（I）的關鍵是熟練掌握面面垂直、線面垂直及線線垂直之間的相互轉化，（II）（III）的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼�，利用向量法進行求解．