Question

設等差數列的前項和為，已知，.

（1）求；

（2）若從中抽取一個公比為的等比數列，其中，且，.

①當取最小值時，求的通項公式；

②若關于的不等式有解，試求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）①，②

【解析】

試題分析：（1）解等差數列問題，主要從待定系數對應關系出發(fā).由等差數列前n項和公式求出公差d即可，（2）①利用等比數列每一項都為等差數列中項這一限制條件，對公比逐步進行驗證、取舍，直到滿足.因為研究的是取最小值時的通項公式，因此可從第二項開始進行驗證，首先滿足的就是所求的公比，②由①易得與的函數關系，并由為正整數初步限制取值范圍，當且時適合題意，當且時，不合題意.再由不等式有解，歸納猜想并證明取值范圍為本題難點是如何說明當時不等式即無解，可借助研究數列單調性的方法進行說明.

試題解析：（1）設等差數列的公差為，則，解得， 2分

所以. 4分

（2）因為數列是正項遞增等差數列，所以數列的公比，

若，則由，得，此時，由，

解得，所以，同理； 6分

若，則由，得，此時，

另一方面，，所以，即， 8分

所以對任何正整數，是數列的第項．所以最小的公比．

所以． 10分

（3）因為，得，而，[來源:]

所以當且時，所有的均為正整數，適合題意；

當且時，不全是正整數，不合題意.

而有解，所以有解，經檢驗，當，，時，都是的解，適合題意； 12分

下證當時，無解, 設，

則，

因為，所以在上遞減，

又因為，所以恒成立，所以，所以恒成立，

又因為當時，，所以當時，無解. 15分

綜上所述，的取值為 16分

考點：等差數列和等比數列綜合應用，等差數列前n項和公式，數列單調性.