Question

4．已知f（x）=（x+1）|x|-3x．若對(duì)于任意x∈R，總有f（x）≤f（x+a）恒成立，則常數(shù)a的最小值是$3+\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 寫(xiě)出分段函數(shù)解析式，畫(huà)出圖形，把a(bǔ)的最小值轉(zhuǎn)化為求線段MN的最大值，然后利用基本不等式求解．

解答 解：f（x）=（x+1）|x|-3x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，
作出分段函數(shù)圖象如圖：
作平行于x軸的直線l與f（x）有3個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)最左邊的點(diǎn)為M，最右邊的點(diǎn)為N，則a的最小值為線段MN長(zhǎng)度的最大值，
設(shè)直線l：y=t，則
MN=3+$\sqrt{1+t}+\sqrt{4-t}$=$3+\sqrt{（\sqrt{1+t}+\sqrt{4-t}）^{2}}$
=3+$\sqrt{5+2\sqrt{（1+t）（4-t）}}$$≤3+\sqrt{5+1+t+4-t}=3+\sqrt{10}$．
當(dāng)且僅當(dāng)1+t=4-t，即t=$\frac{3}{2}$是上式取“=”．
故答案為：$3+\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的難點(diǎn)在于把a(bǔ)的最小值轉(zhuǎn)化為求線段MN的最大值，屬難題．