Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線x+y-2=0相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）對(duì)于直線l：y=x+m和點(diǎn)Q（0，3），橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)A與B關(guān)于直線l對(duì)稱，且3$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=32，若存在實(shí)數(shù)m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得b=c，寫出以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程，再由點(diǎn)到直線的距離列式求得b，c的值，結(jié)合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（2）由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為：y=-x+n．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得：3x²-4nx+2n²-2=0，由△＞0解得n的范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線AB之中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線AB，再由點(diǎn)P在直線l上求得m的范圍，最后由3$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=32求得m的值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{c^2}{a^2}=\frac{c^2}{{{b^2}+{c^2}}}=\frac{1}{2}$，得b=c．
上頂點(diǎn)為（0，b），右焦點(diǎn)為（b，0），
以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為${（{x-\frac{2}}）^2}+{（{y-\frac{2}}）^2}={（{\frac{a}{2}}）^2}=\frac{b^2}{2}$，
∴$\frac{{|{b-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，即|b-2|=b，得b=c=1，$a=\sqrt{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為：y=-x+n．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得：3x²-4nx+2n²-2=0，
由△=（-4n）²-12（2n²-2）=24-8n²＞0，解得$-\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$．
${x_1}+{x_2}=\frac{4n}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-2}}{3}$，
設(shè)直線AB之中點(diǎn)為P（x₀，y₀），則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2n}{3}$，
由點(diǎn)P在直線AB上得：${y_0}=-\frac{2n}{3}+n=\frac{n}{3}$，
又點(diǎn)P在直線l上，∴$\frac{n}{3}=\frac{2n}{3}+m$，則$m=-\frac{n}{3}∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$…①．
又$\overrightarrow{QA}=（{{x_1}，{y_1}-3}）$，$\overrightarrow{QB}=（{{x_2}，{y_2}-3}）$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}-\frac{32}{3}=（{{x_1}，{y_1}-3}）•（{{x_2}，{y_2}-3}）-\frac{32}{3}$
=${x_1}{x_2}+（{{y_1}-3}）（{{y_2}-3}）-\frac{32}{2}={n^2}-2n-3=9{m^2}+6m-3=3（{3m-1}）（{m+1}）=0$，
解得：$m=\frac{1}{3}$或m=-1…②
綜合①②，知m的值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．