Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x-

a

x

．
（1）若a=0，求f（x）的極大值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f（x）=lnx-x的定義域為（0，+∞），求導f′（x）=

1

x

-1，從而判斷單調區(qū)間及極大值；
（2）f（x）=lnx-x-

a

x

的定義域為（0，+∞），求導f′（x）=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

，令m（x）=-x²+x+a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+a，通過討論m（x）的正負討論f′（x）的正負，從而確定f（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=lnx-x的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-1，
故f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）的極大值為f（1）=0-1=-1；
（2）f（x）=lnx-x-

a

x

的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

，
令m（x）=-x²+x+a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+a，
當a≤-

1

4

時，f′（x）≤0；
故f（x）=lnx-x-

a

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，
當-

1

4

＜a＜0時，
解-（x-

1

2

）²+

1

4

+a＞0得，

1- 1+4a

2

＜x＜

1+ 1+4a

2

；
故f（x）=lnx-x-

a

x

在（0，

1- 1+4a

2

），（

1+ 1+4a

2

，+∞）上為減函數(shù)，
在（

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

）上為增函數(shù)；
當a≥0時，解-（x-

1

2

）²+

1

4

+a＞0得，

1- 1+4a

2

＜x＜

1+ 1+4a

2

；
故f（x）=lnx-x-

a

x

在（0，

1+ 1+4a

2

）上為增函數(shù)，在（

1+ 1+4a

2

，+∞）上為減函數(shù)．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．