Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足為線段的中點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點(diǎn)的圓與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)為線段的中點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由，可得出、、的等量關(guān)系，由此可計(jì)算出橢圓的離心率；

（2）由（1）可知點(diǎn)，圓的半徑為，利用點(diǎn)到直線的距離為求出的值，進(jìn)而可得出與的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）由（2）可知，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)菱形的對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)可得，代入化簡(jiǎn)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，則、，

為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，，，

即，可得，因此，橢圓的離心率為；

（2），的外接圓圓心為點(diǎn)，半徑為，

由于直線與該圓相切，則，解得，則，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（3）由（2）可知，設(shè)點(diǎn)、，直線的方程為，

當(dāng)時(shí)，直線與軸重合，此時(shí)，、、三點(diǎn)共線，不合乎題意，則，

聯(lián)立，消去，化簡(jiǎn)得，

由韋達(dá)定理得，，

，，

，

根據(jù)菱形對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)可得，

，即，

即，整理得.

綜上所述，在軸上存在點(diǎn)使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形，且實(shí)數(shù)的取值范圍是.