Question

3．如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）作出二面角E-AC-D的平面角并求出它的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥CD，AD⊥CD，由此能證明平面PDC⊥平面PAD．
（2）過E作EF⊥平面ADC，交AD于F，過F作FO⊥AC，交AC于O，連結EO，則∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．
解：（2）過E作EF⊥平面ADC，交AD于F，過F作FO⊥AC，交AC于O，連結EO，
由三垂線定理及逆定理得EO⊥AO，則∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，
∵E是PD的中點，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，
∴EF=$\frac{1}{2}PA$=1，
∵∠ADC=∠AOF=90°，∠DAC=∠OAF，
∴△AOF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{OF}{DC}$，∴OF=$\frac{AF•DC}{AC}$=$\frac{2×2}{\sqrt{20}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=$\sqrt{\frac{4}{5}+1}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴cos$∠EOF=\frac{OF}{OE}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2}{3}$．
∴二面角E-AC-D的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．