如圖,已知拋物線x2=4y與圓x2+y2=32相交于A、B兩點(diǎn),圓與y軸正半軸交于C點(diǎn),直線l是圓的切線,交拋物線于M、N,并且切點(diǎn)在上,
(1)求A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)M、N兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離和最大時(shí),求直線l的方程.
解:(1)由解得A(-4,4),B(4,4), 由解得C(0,). (2)設(shè)直線l:y=kx+b,且l與拋物線交于M(x1,y1),N(x2,y2),拋物線x2=4y的準(zhǔn)線為y=-1,焦點(diǎn)為F. 由拋物線定義知d=|MF|+|NF|=y(tǒng)1+y2+2, 由得y2-2(b+2k2)y+b2=0, 則y1+y2=2(b+2k2), 又∵l與圓相切于, ∴,即k2=-1. 由圖形知l過(guò)C點(diǎn)時(shí),b最小為,當(dāng)l過(guò)A或B時(shí),b最大為8,即≤b≤8, ∴d=(b+8)2-10. ∴當(dāng)b=8時(shí),d取最大值,此時(shí)k=±1. ∴所求直線l的方程為y=x+8或y=-x+8. |
列方程組求解A、B、C的坐標(biāo),設(shè)出l的方程,利用拋物線定義轉(zhuǎn)化條件.由l的方程與拋物線方程組成方程組,找出k與b的關(guān)系,再利用二次函數(shù)求其最值. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:重慶市2008屆六校高中三年級(jí)第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)理科 題型:044
如圖,已知拋物線x2=2px(p>0)和直線y=b(b<0),點(diǎn)P(t,b)在直線y=b上移動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,線段AB的中點(diǎn)為M
(1)求點(diǎn)M的軌跡;
(2)求線段AB長(zhǎng)的最小值;
(3)求證直線PM的傾斜角為定植,并求的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:重慶市2008屆六校高中三年級(jí)第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)文科 題型:044
如圖,已知拋物線x2=2py(p>0)和直線y=b(b<0),點(diǎn)P(t,b)在直線y=b上移動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,線段AB的中點(diǎn)為M
(1)設(shè)A(x1,),B(x2,),分別用x1,x2表示切線PA,PB的斜率kPA,kPB;
(2)證明x1,x2為方程x2-2tx+2pb=0的兩根,并求線段AB長(zhǎng)的最小值;
(3)求證直線PM的傾斜角為定植,并求PM長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省寧波市鄞州區(qū)2012屆高三5月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:044
如圖,已知拋物線x2=4y,過(guò)拋物線上一點(diǎn)A(x1,y1)(不同于頂點(diǎn))作拋物線的切線l,并交x軸于點(diǎn)C,在直線y=-1上任取一點(diǎn)H,過(guò)H作HD垂直x軸于點(diǎn)D,并交l于點(diǎn)E,過(guò)H作直線HT垂直于直線l,并交x軸于點(diǎn)T.
(1)求證:|OC|=|DT|;
(2)試判斷直線ET與拋物線的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年浙江省溫州市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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