Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2+lga）x+lgb，f（-1）=-2當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥2x恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇t，t+1]（t＜0）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值g（t）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x²+xlga+lgb≥0對(duì)于任意x∈R恒成立，利用判別式及f（-1）=-2，即可求得a，b的值．
（2）由（1）可得 函數(shù)f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，分當(dāng)t+1≤-2時(shí)、當(dāng) t＜-2＜t+1時(shí)、當(dāng)-2≤t＜0時(shí)三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：由題意可得f（-1）=-2，即 1-lga-2+lgb=-2，
∴l(xiāng)gb=lga-1．
∵對(duì)于任意x∈R，f（x）≥2x 成立，
∴x²+xlga+lgb≥0對(duì)于任意x∈R恒成立，
∴x²+xlga+lga-1≥0對(duì)于任意x∈R恒成立，
∴△=（lga）²-4（lga-1）=（lga-2）²≤0，
∴l(xiāng)ga=2，
∴a=100．
∵lgb=lga-1，
∴l(xiāng)gb=1，∴b=10．
（2）由（1）可得 函數(shù)f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，當(dāng)t+1≤-2時(shí)，即t≤-3 時(shí)，
函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，
f（x）_min=f（t+1）=t²+6t+6，
當(dāng) t＜-2＜t+1時(shí)，即-3＜t＜-2時(shí)，
（x）_min=f（-2）=-3．
當(dāng)-2≤t＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，
f（x）_min=f（t）=t²+4t+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．