Question

11．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）與已知雙曲線x²-4y²=4有共同漸近線且經(jīng)過點(diǎn)（2，2）；
（2）漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，焦距為10；
（3）經(jīng)過兩點(diǎn)P（-3，2$\sqrt{7}$）和Q（-6$\sqrt{2}$，-7）；
（4）雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)與雙曲線x²-4y²=4有共同的漸近線的方程為x²-4y²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出雙曲線方程；
（2）漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，焦距為10，則$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，c=5或$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，c=5，求出a，b，即可得出雙曲線方程；
（3）經(jīng)過兩點(diǎn)P（-3，2$\sqrt{7}$）和Q（-6$\sqrt{2}$，-7），設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為nx²+my²=1（m•n＜0），代入，求出m，n，即可得出雙曲線方程；
（4）雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，設(shè)方程為x²-y²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），即可得出雙曲線方程．

解答 解：（1）設(shè)與雙曲線x²-4y²=4有共同的漸近線的方程為x²-4y²=λ（λ≠0），
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（2，2），
∴2²-4•2²=λ，
∴λ=-12，
∴x²-4y²=-12，即$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1；
（2）漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，焦距為10，則$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，c=5或$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，c=5，
∴a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$或a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1或$\frac{{y}^{2}}{20}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（3）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為nx²+my²=1（m•n＜0），
又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2$\sqrt{7}$）和Q（-6$\sqrt{2}$，-7），
所以$\left\{\begin{array}{l}{28m+9n=1}\\{49m+72n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{25}$，n=-$\frac{1}{75}$，
所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{75}$=1
（4）雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，設(shè)方程為x²-y²=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），可得λ=6，所以雙曲線的方程為x²-y²=6．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線方程的設(shè)法，屬于中檔題．