Question

已知函數f（x）=x+

a

x

．
（1）若a≤4，說明函數f（x）在區(qū)間（2，+∞）的單調性，并利用單調性的定義證明；
（2）請問y=f（x）在定義域內是奇函數還是偶函數，并證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據增函數的定義，只需說明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（2）利用奇偶函數的定義進行判斷f（-x）與f（x）的關系．

解答： （1）解：a≤4，函數f（x）在區(qū)間（2，+∞）的是單調增函數；
證明：任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

a

x1

）-（x2+

a

x2

）=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，
因為2＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，a≤4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+

a

x

在（2，+∞）上為增函數．
（2）函數f（x）在定義域內是奇函數；
證明：∵函數的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱；
f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）；
所以函數f（x）在定義域內是奇函數．

點評：本題考查了函數單調性和奇偶性的判斷；單調性的證明方法主要有：定義法；導數法，奇偶性的判定主要利用定義，要熟練掌握，屬于基礎題．