Question

給出下列四個命題：
①“M＞N”是“l(fā)og₂M＞log₂N”的充要條件；
②已知A、B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1實(shí)軸的兩個端點(diǎn)，M，N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值為2，則雙曲線的離心率e=

2

；
③取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率是

1

3

；
④一個圓形紙片，圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于P，則P的軌跡是橢圓．
其中真命題的序號是

 

．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①通過舉反例判定命題不成立；
②根據(jù)題意，求出|k₁|+|k₂|的最小值為2時，a、b的關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率e；
③畫出圖形，求出剪得兩段的長都不小于1m的概率P；
④畫出圖形，根據(jù)題意，求出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義，得出P點(diǎn)的軌跡．

解答： 解：①當(dāng)0＞M＞N時，log₂M、log₂N無意義，當(dāng)log₂M＞log₂N時，M＞N，應(yīng)是必要不充分條件，∴命題錯誤；
②根據(jù)題意，設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），則N（m，-n）；
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴n²=

(m2-a2)b2

a2

；
∴k₁=

n

m+a

，k₂=

-n

m-a

，
∴|

n

m+a

|+|

-n

m-a

|≥2

n2 m2-a2

=2•

b

a

=2，
∴b=a，
∴雙曲線的離心率e=

2

；命題正確；
③如圖所示，；
在中間的1m處剪開，剪得兩段的長都不小于1m，概率是P=

3-1-1

3

=

1

3

，∴命題正確；
④如圖所示，由題意知，CD是線段MF的垂直平分線，
∴|MP|=|FP|，
∴|FP|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），
又顯然|MO|＞|FO|，
∴根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)P軌跡是以F、O兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓；∴命題正確；
以上正確的命題有3個，是②③④；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查了充要條件、雙曲線、概率以及橢圓的有關(guān)問題，是綜合題目．