已知α、β、γ為互不相等的銳角，且tanα=
sinβsinγ
cosβ-cosγ
，求證：tanβ=
sinαsinγ
cosα+cosγ
．
考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用
專題：計算題,三角函數(shù)的求值
分析：根據(jù)已知有sinα=
sinβsinγ
(sinβsinγ)2+(cosβ-cosγ)2
，cosα=
cosβ-cosγ
(sinβsinγ)2+(cosβ-cosγ)2
，代入
sinαsinγ
cosα+cosγ
化簡可證等于tanβ．
解答： 證明：∵tanα=
sinβsinγ
cosβ-cosγ
，α、β、γ為互不相等的銳角，

∴sinα=
sinβsinγ
(sinβsinγ)2+(cosβ-cosγ)2
，cosα=
cosβ-cosγ
(sinβsinγ)2+(cosβ-cosγ)2
，
∵計算分母可得：
（sinβsinγ）2+（cosβ-cosγ）2
=sin2βsin2γ+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=（1-cos2β）（1-cos2γ）+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=1-cos2β-cos2γ+cos2βcos2γ+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=1-2cosβcosγ+cos2βcos2γ
=（1-cosβcosγ）2，
∴sinα=
sinβsinγ
1-cosβcosγ
，cosα=
cosβ-cosγ
1-cosβcosγ
，
∴
sinαsinγ
cosα+cosγ

=
sinβsinγsinγ
(cosβ-cosγ)+cosγ(1-cosβcosγ)

=
sinβsin2γ
(cosβ-cosγ+cosγ-cosβcos2γ)

=
sinβsin2γ
cosβ(1-cos2γ)

=tanβ．
從而得證．
點評：本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，三角函數(shù)式子的化簡要靈活運用公式，善于發(fā)現(xiàn)已知中的隱藏條件，屬于基本知識的考查．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)1-i=
2+4i
z
（i為虛數(shù)單位），則z等于（　�。�
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求函數(shù)f（x）=(
1
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OP
=
OA
+λ
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．
（1）當λ=2時，求
OP
的坐標；
（2）若
OP
⊥
OC
，且向量
OD
=（2+t，
2
t
），其中t∈（0，+∞），求
OP
•
OD
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）滿足任意x，y（x，y≠0）都有f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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OP
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=16，A（-2，0），B（2，0）為兩個定點，點P是橢圓C：
x2
16
+
y2
12
=1上一動點，以點P為焦點，過點A和B的拋物線的準線為l，則直線l與圓O（　�。�
A、相切B、相離C、相交D、不確定

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率等于
2
，焦點到漸近線的距離為1，直線y=kx-1與雙曲線E的右支點交于A，B兩點，
（1）求k的取值范圍；
（2）若|AB|=6
3
，點C是雙曲線左支上一點，滿足
OC
=m（
OA
+
OB
），求C點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知0＜x＜π，求證：
2-cosx
sinx
≥
3
．

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