Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列；并數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．分別取n=1，2，3，即可得出．
（2）利用遞推關(guān)系可得：-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n+2=2（S_n-1+2），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系可得a_n．

解答 （1）解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
∴n=1時(shí)，a₁=2；n=2時(shí)，2+2a₂=1×（2+a₂）+4，解得a₂=4．
n=3時(shí)，2+2×4+3a₃=2×（2+4+a₃）+6，解得a₃=8．
（2）證明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．   ①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
由①-②得na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2，
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n+2=2（S_n-1+2），S₁+2=4，
∴數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列，以4為首項(xiàng)，2為公比．
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．