Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，點E是PD的中點．
（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)底面ABCD是菱形判斷出∠ABC=60°，且四邊長相等，在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²可推斷出PA⊥AB．同樣可推斷出，PA⊥AD，進而根據(jù)直線與面垂直的定義判斷出PA⊥平面ABCD．進而根據(jù)

PB

=

EA

+

EC

.判斷出

PB

、

EA

、

EC

共面．，進而根據(jù)直線與面平行的判定法則，推斷出PB∥平面EAC．
（Ⅱ）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．GH⊥AC于H，連接EH，進而可推斷出EG⊥平面ABCD．EH⊥AC，進而可知∠EHG即為二面角θ的平面角．進而根據(jù)E是PD的中點，從而G是AD的中點，分別求得EG和GH，進而根據(jù)tanθ=

EG

GH

求得答案．

解答：（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因為

PB

=

PD

+

DC

+

CB

=2

ED

+

DC

+

DA

=(

ED

+

DA

)+(

ED

+

DC

)=

EA

+

EC

.
所以

PB

、

EA

、

EC

共面．
又PB?平面EAC，所以PB∥平面EAC．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，連接EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角．
又E是PD的中點，從而G是AD的中點，EG=

1

2

a，AG=

1

2

a，GH=AGsin60°=

3

4

a.
所以tanθ=

EG

GH

=

2 3

3

.

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定和二面角的問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．