Question

已知點P（4，2）是直線L被橢圓

x2

36

+

y2

9

=1所截得的弦的中點，則直線L的方程為

x+2y-8=0

．

Answer 1

分析：設直線l與橢圓

x2

36

+

y2

9

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法能夠求出直線l的方程．

解答：解：設直線l與橢圓

x2

36

+

y2

9

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點P（4，2）是直線l被橢圓

x2

36

+

y2

9

=1所截得的弦的中點，
∴

x1+x2=8 y1+y2=4

，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓x²+4y²=36，
得

x12+4y12=36 x22+4y22=36

，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴8（x₁-x₂）+16（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

．
∴直線l的方程為：y-2=-

1

2

（x-4），整理得x+2y-8=0．
故答案為：x+2y-8=0．

點評：本題考查直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意點差法的合理運用．