已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù))。
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若對任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍。
(1)最大值為0,最小值。(2)。
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,,…………2分
則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),……………
又,則, ………………5分
。 …………………6分
(2),則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),
又,則函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032510232393751280/SYS201303251024177343951246_DA.files/image014.png">!8分
則轉(zhuǎn)化為:當(dāng)時(shí),在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根。…………9分
而。
當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),不符合題意。…………………10分
當(dāng)時(shí),有,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),
不符合題意。 ………………………11分
當(dāng)時(shí),有,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),而當(dāng)趨于零時(shí),趨于正無窮,且最小值為。
要使在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根,則。 ………12分
又,且,故只要,得。
而,從而有。 ……14分
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評:在高考中,重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間、極值、最值,以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題。多以解答題的形式出現(xiàn),屬于中、高檔題目。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(12分)已知函數(shù)且e為自然對數(shù)的底數(shù))。
(1)求的導(dǎo)數(shù),并判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使不等式對一切都成立,若存在,求出t;若不存在,請說明理由。查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆福建省、二中高二上學(xué)期期末聯(lián)考理科數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),,(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),求的最小值;
(Ⅲ)若對任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省懷化市高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若≥0對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)在(2)的條件下,證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江西省四校度高二下學(xué)期期末聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù),(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在上無零點(diǎn),求a的最小值;
(III)若對任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求a的取值范圍.
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