Question

（本題滿分13分）已知函數(shù)，各項(xiàng)均不相等的有限項(xiàng)數(shù)列的各項(xiàng)滿足.令，且，例如：.

（Ⅰ）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值；

（Ⅱ）試判斷下列給出的三個(gè)命題的真假，并說(shuō)明理由.

①存在數(shù)列使得；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，則；

③如果數(shù)列是等比數(shù)列，則.

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）①對(duì)；②錯(cuò)；③對(duì).理由見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ），是周期為4的周期，且，，.（Ⅱ）① 滿足時(shí)，便成立.②易找到例子說(shuō)明是錯(cuò)的，比如－0.2，－0.1，0，0.1，0.2，這是等差數(shù)列，其和為0，從而.③首先是奇函數(shù)，由于，因此只需考查時(shí)的性質(zhì)，此時(shí)都是增函數(shù)，從而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增.若，則，所以，即，所以.

同理若，可得，這樣可得.由此可知，數(shù)列各項(xiàng)同號(hào)時(shí)結(jié)論成立.若各項(xiàng)符號(hào)不一致，則公比且，等比數(shù)列各項(xiàng)是正負(fù)交替出現(xiàn)，這時(shí)分是偶數(shù)和是奇數(shù)討論符號(hào)即可.

試題解析：（Ⅰ） 1分

3分

5分

（Ⅱ）①顯然是對(duì)的，只需滿足 7分

②顯然是錯(cuò)的，若， 9分

③也是對(duì)的，理由如下： 10分

首先是奇函數(shù)，因此只需考查時(shí)的性質(zhì)，此時(shí)都是增函數(shù)，從而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增。

若，則，所以，即，所以.

同理若，可得，

所以時(shí)，.

由此可知，數(shù)列是等比數(shù)列，各項(xiàng)符號(hào)一致的情況顯然符合；

若各項(xiàng)符號(hào)不一致，則公比且，恒不為零.

若是偶數(shù)，符號(hào)一致，

又符號(hào)一致，所以符合；

若是奇數(shù)，可證明總和符號(hào)一致”，

同理可證符合； 12分

綜上所述，①③是真命題；②是假命題 13分

考點(diǎn)：函數(shù)與數(shù)列.