Question

（1）已知x∈（0，π），求y=sinx+

2

sinx

的最小值？
（2）若a，b為正實(shí)數(shù)，且ab-（a+b）=8，求a+b的最小值？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令sinx=t，則t∈（0，1]，由函數(shù)y=t+

2

t

在t∈（0，1]上單調(diào)遞減，可得結(jié)論；
（2）變形可得a+b=ab-8≤(

a+b

2

)2-8，令t=a+b，上式變形為 t²-4t-32≥0，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
令sinx=t，則t∈（0，1]，
∵函數(shù)y=t+

2

t

在t∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1即sinx=1時(shí)，y=sinx+

2

sinx

取最小值3；
（2）∵a，b為正實(shí)數(shù)，且ab-（a+b）=8，
∴a+b=ab-8≤(

a+b

2

)2-8
令t=a+b，上式變形為 t²-4t-32≥0，
解得t≥8，或t≤-4（舍去）
即a+b≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)等號(hào)成立
∴a+b的最小值為8

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，涉及函數(shù)的單調(diào)性，注意基本不等式等號(hào)成立的條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．