Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．若數(shù)列{S_n+λn+

λ

2n

}為等差數(shù)列，則λ的值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  2

• C．2
• D．-2

Answer 1

分析：利用通項(xiàng)a_n與其前n項(xiàng)和之間S_n之間的關(guān)系即可得出S_n，再利用等差數(shù)列的定義即可得出λ的值．

解答：解：由題意可得：2a_n+1+S_n-2=0，而a_n+1=S_n+1-S_n，
∴2（S_n+1-S_n）+S_n-2=0，可化為2（S_n+1-2）=S_n-2，
∵a₁=1，∴S₁-2=-1≠0，∴

Sn+1-2

Sn-2

=

1

2

，
∴數(shù)列{S_n-2}是以-1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴Sn-2=-(

1

2

)n-1，即S_n=2-

1

2n-1

．
∴Sn+λn+

λ

2n

=2-

1

2n-1

+λn+

λ

2n

=2+λn+

λ-2

2n

．
bn=2+λn+

λ-2

2n

，則b1=1+

3

2

λ，b2=

3

2

+

9

4

λ，b3=

7

4

+

25

8

λ．
∵b₁，b₂，b₃成等差數(shù)列，∴2b₂=b₁+b₃，即2(

3

2

+

9

4

λ)=1+

3

2

λ+

7

4

+

25

8

λ，
解得λ=2．
當(dāng)λ=2時(shí)，S_n=2n+2，數(shù)列{S_n}是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
故存在實(shí)數(shù)λ=2，使得數(shù)列{Sn+λn+

λ

2n

}成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的定義及關(guān)系an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

是解題的關(guān)鍵．