Question

曲線C上的點P到定點N（2，0）的距離與到直線x=-2的距離相等．
（Ⅰ）求點P的軌跡C方程；
（Ⅱ）過點E（8，0）的直線交曲線C于兩點A、B，求證：∠AOB=90°（O是坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線的定義可得曲線C上的每一點到定點F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等的點的軌跡為焦點在x軸上，以F（2，0）為焦點的拋物線，從而可求
（Ⅱ）設直線為x=my+8，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量數量積的坐標公式即可求得結果，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）∵曲線C上的每一點到定點F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等，
∴軌跡為焦點在x軸上，以F（2，0）為焦點的拋物線
標準方程為：y²=8x
（II）設過E（8，0）的直線為x=my+8，代入拋物線得y²-8my-64=0，
設直線與拋物線交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
，即OA⊥OB．
∴∠AOB=90°．
點評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，解題（I）的關鍵是靈活應用拋物線的定義，還考查的直線與拋物線的相交的問題，常見的處理方法是聯(lián)立方程，根據方程的根滿足的關系．