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設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量
a
=(x-2,y),
b
=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
(I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若
OP
=
OA
+
OB
(O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.
分析:(I)把
a
=(x-2,y),
b
=(x+2,y)代入|a|+|b|=8,根據橢圓的定義即可求得動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)假設存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,即OA⊥OB,設出直線l的方程,聯(lián)立直線和橢圓方程,利用韋達定理即可得出結論.
解答:解:(I)因為|a|+|b|=8,所以
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8

所以動點M的軌跡是到定點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)的距離之和為8的橢圓.
則曲線C的方程是
x2
16
+
y2
12
=1

(Ⅱ)因為直線l過點N(0,2),若直線l的斜率不存在,則l的方程為x=0,與橢圓的兩個交點A、B為橢圓的頂點.
OP
=
OA
+
OB
,則P與O重合,與OAPB為四邊形矛盾.
若直線l的斜率存在,設方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
y=kx+2
x2
16
+
y2
12
=1
得(4k2+3)x2+16kx-32=0.
△=256k2+128(4k2+3)>0恒成立.
由根與系數關系得:x1+x2=-
16k
4k2+3
,x1x2=
-32
4k2+3

因為
OP
=
OA
+
OB
,所以四邊形OAPB為平行四邊形.
若存在直線l使四邊形OAPB為矩形,則
OA
OB
,即
OA
OB
=0

所以x1x2+y1y2=0.
所以(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0.
(1+k2)(-
32
4k2+3
)-2k•
16k
4k2+3
+4=0

化簡得:12k2+5=0.與斜率存在矛盾.
則不存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形.
點評:考查向量和解析幾何相結合,體現(xiàn)了向量的工具性,考查橢圓的定義和直線與橢圓的位置關系問題,屬難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•西山區(qū)模擬)如圖,點P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上一動點,點H是點M在x軸上的射影,坐標平面xOy內動點M滿足:
3
HM
=2
HP
(O為坐標原點),設動點M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過右焦點F的直線l交曲線C于D,E兩點,且2
DF
=
FE
,點E關于x軸的對稱點為G,求直線GD的方程.

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科目:高中數學 來源:2007-2008學年北京市朝陽區(qū)高三(上)期末數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量=(x-2,y),=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
(I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若(O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:2007-2008學年北京市朝陽區(qū)高三(上)期末數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量=(x-2,y),=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
(I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若(O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設動點M的坐標為(x,y)(x、y∈R),向量
a
=(x-2,y),
b
=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
(I)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點N(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,若
OP
=
OA
+
OB
(O為坐標原點),是否存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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