Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+pn，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)于數(shù)列{c_n}有，c_n=2（a_n-4）•b_n，請(qǐng)求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

分析 （1）由$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{_{1}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出b_n，同理求出 ${a_n}=n+p-\frac{1}{2}$，再由a₄=b₄，能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=2（a_n-4）•b_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+pn，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄．
∴n=1時(shí)，b₁=T₁=2-1=1，
n≥2 時(shí)，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}={2^{n-1}}$，n=1時(shí)，該式成立，
$\therefore$ ${b_n}={2^{n-1}}$．
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}+p$，
n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=n+p-\frac{1}{2}$，
∵${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}+p$，$\therefore$ ${a_n}=n+p-\frac{1}{2}$，
由a₄=b₄，得4+9-$\frac{1}{2}$=8，解得p=$\frac{9}{2}$，
∴a_n=n+4．
（2）由（1）得，c_n=2（a_n-4）•b_n=n•2ⁿ，
∴${R_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$，①
$2•{R_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$ ②
②-①得，${R_n}=n•{2^{n+1}}-（{2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）$
=$n•{2^{n+1}}-\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．