Question

正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=15，且a₁+2，a₂+5，a₃+13構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=5，d＞0，（7-d）（18+d）=100，由此能求出bn=5•2n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）由a_nb_n=5（2n+1）•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=15，
∴a₂=5，d＞0，
∵a₁+2，a₂+5，a₃+13構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
∴{b_n}的前3項(xiàng)分別為7-d，10，18+d，
依題意，有（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍），
∴{b_n}的首項(xiàng)b₁=5，公比q=2，
∴bn=5•2n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）∵a_nb_n=5（2n+1）•2^n-1，
∴T_n=5[3•2⁰+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1]，①
2T_n=5[3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ]，②
①-②，得-T_n=5[3+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ]
=5[3+

4(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ]
=5[2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）•2ⁿ]，
∴T_n=5+5（2n-1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．