Question

12．一矩形的一邊在x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)y=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0）的圖象上，如圖，則此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是（　�。�

• A． π
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先求出y的范圍，再設(shè)出點(diǎn)AB的坐標(biāo)，根據(jù)AB兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到x₂•x₁=1，再求出高h(yuǎn)，根據(jù)圓柱體的體積公式得到關(guān)于y的代數(shù)式，最后根據(jù)基本不等式求出體積的最大值．

解答 解：∵y=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{y}$
∵矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體一個(gè)圓柱，
設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，y），
則圓柱的底面圓的半徑為y，高位h=x₂-x₁，
∵f（x₁）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$，f（x₂）=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$，
即（x₂-x₁）（x₂•x₁-1）=0，
∴x₂•x₁=1，
∴h²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）²-4=$\frac{1}{{y}^{2}}$-4，
∴h=$\frac{\sqrt{1-4{y}^{2}}}{y}$，
∴V_圓柱=πy²•h=πy$\sqrt{1-4{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}π$•$\sqrt{4{y}^{2}（1-4{y}^{2}）}$
≤$\frac{1}{2}$π•（$\frac{4{y}^{2}+（1-4{y}^{2}）}{2}$）=$\frac{1}{4}$π，當(dāng)且僅當(dāng)y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)取等號(hào)，
故此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為$\frac{1}{4}$π，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間幾何體的體積計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，本題求出x₂•x₁=1是關(guān)鍵，屬于中檔題．