已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,
,
底面ABCD,且PA=AD=DC=
AB=1,M是PB的中點。
(Ⅰ)證明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC與PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大小。
本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力,
方法一:
(I)證明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂線定理得:CD⊥PD.
因而,CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD,∴面PAD⊥PCD.
(II)解:過點B作BE∥CA,且BE=CA,則∠PBE是AC與PB所成的角.
連結(jié)AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,
所以四邊形ACBE為正方形.
由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,
在Rt△PEB中BE=,PB=
,
cos∠PBE==
∴AC與PB所成的角為arccos.
(III)解:作AN⊥CM,垂足為N,連結(jié)BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角。
∵CB⊥AC,由三垂線定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN?MC=.
∴AN=.
∵AB=2,
∴cos∠ANB==
故所求的二面角為arccos().
方法二:因為PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A為坐標(biāo)原點,AD長為單位長度,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則各點坐標(biāo)為
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).
(I)證明:因=(0,0,1),
=(0,1,0),故
?
=0,所以AP⊥DC.
又由題設(shè)知AD⊥DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC⊥面PAD。
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
(II)解:因=(1,1,0),
=(0,2,-1),
故||=
,|
|=
,
?
=2,所以
cos<?
>=
=
由此得AC與PB所成的角為arccos
(III)解:在MC上取一點N(x,y,z),則存在λ∈R,使
=λ
,
=(1-x,1-y,-z),
=(1,0,-
),
∴x=1-λ,y=1,z=λ.
要使AN⊥MC只需?
=0,即
x-z=0,解得λ=
.
可知當(dāng)λ=時,N點坐標(biāo)為(
,1,
),能使
?
=0.
此時, =(
,1,
),
=(
,-1,
),有
?
=0.
由?
=0,
?
=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.
∵||=
,|
|=
,
?
=-
.
∴cos<,
>=
=
故所求的二面角為arccos().
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