已知離心率為的橢圓C的中心在坐標原點O，一焦點坐標為（1，0），圓O的方程為x2+y2=7．
（1）求橢圓C的方程，并證明橢圓C在圓O內；
（2）過橢圓C上的動點P作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與圓O相交于點A，C，l2與圓O相交于點B，D（如圖），求四邊形ABCD的面積的最大值．

【答案】分析：（1）由題意可設橢圓C的方程為，利用離心率為的橢圓的焦點坐標為（1，0），即可求橢圓C的方程；設P（x，y）是橢圓C上的任意一點，到圓心的距離小于半徑即可知橢圓C在圓O內
（2）設橢圓C上的動點P（x，y）到直線l1，l2的距離分別為d1，d2．則，，，求出的最小值，即可求得四邊形ABCD的面積的最大值．
解答：解：（1）由題意可設橢圓C的方程為，
則，，解得，故橢圓C的方程為．
證明：設P（x，y）是橢圓C上的任意一點．
則，，故橢圓C在圓O內

（2）如圖，設橢圓C上的動點P（x，y）到直線l1，l2的距離分別為d1，d2．
則，，
由l1⊥l2，得．
則t∈[3，4]，四邊形ABCD的面積
當且僅當，t=3時，上式取等號，此時，
即點P（x，y）為．直線l1，l2的斜率分別為1，-1或-1，1．
所以四邊形ABCD的面積的最大值為11．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的位置關系，考查圓內接四邊形的面積，解題的關鍵是利用基本不等式求解面積的最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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（本小題滿分13分）已知離心率為的橢圓C：的左頂點為A，上頂點為B，且點B在圓M：上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點A的直線l與圓M交于P，Q兩點，且，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省懷化三中高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知離心率為的橢圓C：過（1，）
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在實數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，若存在請求出m，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省贛州市南康中學高二（上）12月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（，1，O是坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點A、B為橢圓C上相異兩點，且⊥，判定直線AB與圓O：x2+y2=的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年天津市武清區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）與過點A（5，0），B（0，）的直線有且只有一個公共點M．
（1）求橢圓C的方程及點M的坐標；
（2）是否存在過點M的直線l，依次交橢圓C、x軸、y軸于點N（異于點M）、P、Q，且滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年安徽省宿州市高考數(shù)學三模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知離心率為的橢圓C：的左焦點為F，上頂點為E，直線EF截圓x2+y2=1所得弦長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過D（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，．試探究的取值范圍．

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