Question

2．將三項(xiàng)式（x²+x+1）ⁿ展開(kāi)，當(dāng)n=1，2，3，…時(shí)，得到如下左圖所示的展開(kāi)式，如圖所示的廣義楊輝三角形：（x²+x+1）⁰=1第0行                                                              1
（x²+x+1）¹=x²+x+1第1行                                                     1 1 1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1第2行                                     1 2 3 2 1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1第3行                          1 3 6 7 6 3 1
（x²+x+1）⁴=x⁸+4x⁷+10x⁶+16x⁵+19x⁴+16x³+10x²+4x+1第4行   1 4 10 16 19 16 10 4 1
…
觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0）之和，第k行共有2k+1個(gè)數(shù)．若在（1+ax）（x²+x+1）⁵的展開(kāi)式中，x⁸項(xiàng)的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為2．

Answer 1

分析 由題意可得廣義楊輝三角形第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x²+x+1）⁵的展開(kāi)式中，x⁸項(xiàng)的系數(shù)為15+30a=75，即可求出實(shí)數(shù)a的值

解答 解：由題意可得廣義楊輝三角形第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
所以（1+ax）（x²+x+1）⁵的展開(kāi)式中，x⁸項(xiàng)的系數(shù)為15+30a=75，
所以a=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用以及歸納推理，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)所給等式的系數(shù)變化的規(guī)律．