Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．
（1）若y=g（x）為曲線y=f（x）的一條切線，求a的值；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）≥g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得切線的斜率，由切線的方程，可得a=e^m（2m+1），又n=am-a=e^m（2m-1），解方程可得a的值；
（2）f（x）≥g（x）可化為e^x（2x-1）≥a（x-1），當(dāng)x-1=0，即x=1時(shí)，e＞0恒成立，a∈R；當(dāng)x-1＞0，即x＞1時(shí)，$a≤\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$恒成立，構(gòu)造函數(shù)求最值，即可得出a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），由題意可得a=e^m（2m+1），
又n=am-a=e^m（2m-1），
解方程可得，a=1或$4{e}^{\frac{3}{2}}$．
（2）f（x）≥g（x）可化為e^x（2x-1）≥a（x-1），
當(dāng)x-1=0，即x=1時(shí)，e＞0恒成立，a∈R；
當(dāng)x-1＞0，即x＞1時(shí)，$a≤\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$恒成立，
令$F（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，則$F'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，∴$F（x）在（{1，\;\;\frac{3}{2}}）上遞減，在（{\frac{3}{2}，\;\;+∞}）上遞增$，∴$F{（x）_{min}}=F（{\frac{3}{2}}）=4{e^{\frac{3}{2}}}$，∴$a≤4{e^{\frac{3}{2}}}$；
當(dāng)x-1＜0，即x＜1時(shí)，$a≥\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$恒成立，
令$F（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，則$F'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，∴F（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，1）上遞減，∴F（x）_max=F（0）=1，∴a≥1，
綜上所述：$1≤a≤4{e^{\frac{3}{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值、最值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．