Question

6．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面α，β，γ兩兩互相垂直，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)A到β，γ的距離都是3，點(diǎn)P是α上的動(dòng)點(diǎn)，滿足P到β的距離是到P到點(diǎn)A距離的2倍，則點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到γ的距離的最小值是3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，3），P第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足P到Y(jié)軸的距離是到P到點(diǎn)A 距離的2倍，則點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到x軸的距離的最小值是多少．

解答 解：設(shè)P（x，y），
P的軌跡方程為x=2$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-3）^{2}}$，
x²=4（x-3）²+4（y-3）²，
∴（y-3）²=$\frac{1}{4}$[x²-4（x-3）²]=-$\frac{3}{4}$x²+6x-9，
∴當(dāng)x=4時(shí)，（y-3）²取得最大值3．
∵（y-3）²=3，∴y=3+$\sqrt{3}$，或y=3-$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P 的軌跡上的點(diǎn)到γ 的距離的最小值是3-$\sqrt{3}$．
故答案為：3-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查平面和平面間的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，把空間幾何問題巧妙地轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．