Question

一個(gè)幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點(diǎn)A、B、C在圓O的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．

（1）求證：AC⊥BD；

（2）求二面角A-BD-C的平面角的大小．

Answer 1

分析：方法一（幾何法）（1）由已知中EA⊥平面ABC，由線面垂直的性質(zhì)可得ED⊥AC，結(jié)合AC⊥AB，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由線面垂直的性質(zhì)得到AC⊥BD；
（2）由A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑，又由幾何體正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，我們易構(gòu)造r，h的方程組，求出r，h的值后，結(jié)合（1）的結(jié)論，可得∠AHC為二面角A-BD-C的平面角，解Rt△BAD，即可得到二面角A-BD-C的平面角的大�。�
方法二（向量法）（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DD₁、DE所在的射線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，分別求出AC，BD的方向向量，由兩向量的數(shù)量積為0，即可得到AC⊥BD；
（2）分別求出平面ABD與平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-BD-C的平面角的大小．

解答：方法一（幾何法）：
證明：（1）因?yàn)镋A⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因?yàn)锳C⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因?yàn)锽D?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
解：（2）因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑．
設(shè)圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

2rh+ 1 2 r×2=10 2rh+ 1 2 ×2r×2=12.

（6分）
解得

r=2 h=2.

所以BC=4，AB=AC=2

2

．（7分）
過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH，
由（1）知，AC⊥BD，AC∩CH=C，所以BD⊥平面ACH．
因?yàn)锳H?平面ACH，所以BD⊥AH．
所以∠AHC為二面角A-BD-C的平面角．（9分）
由（1）知，AC⊥平面ABD，AH?平面ABD，
所以AC⊥AH，即△CAH為直角三角形．
在Rt△BAD中，AB=2

2

，AD=2，則BD=

AB2+AD2

=2

3

．
由AB×AD=BD×AH，解得AH=

2 6

3

．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">tan∠AHC=

AC

AH

=

3

．（13分）
所以∠AHC=60°．
所以二面角A-BD-C的平面角大小為60°．（14分）
方法二（向量法）：
證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑．
設(shè)圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

2rh+ 1 2 r×2=10 2rh+ 1 2 ×2r×2=12.

（2分）
解得

r=2 h=2.

所以BC=4，AB=AC=2

2

．
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DD₁、DE所在的射線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
D-xyz，則D（0，0，0），D₁（4，0，0），A（0，0，2），B（2，2，2），C（2，-2，2），

AC

=(2，-2，0)，

DB

=(2，2，2)．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AC

•

DB

=(2，-2，0)•(2，2，2)=0，
所以

AC

⊥

DB

．
所以AC⊥BD．（9分）
解：（2）設(shè)n=（x，y，z）是平面BCD的法向量，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

BC

=(0，-4，0)，
所以

n• BC =0 n• DB =0.

即

-4y=0 2x+2y+2z=0.

取z=-1，則n=（1，0，-1）是平面BCD的一個(gè)法向量．（11分）
由（1）知，AC⊥BD，又AC⊥AB，AB∩BD=B，所以AC⊥平面ABD．
所以

AC

=(2，-2，0)是平面ABD的一個(gè)法向量．（12分）
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">cos?n，

AC

＞=

n• AC

|n|•| AC |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

，
所以?n，

AC

＞=60°．
而?n，

AC

＞等于二面角A-BD-C的平面角，
所以二面角A-BD-C的平面角大小為60°．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求示，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中方法一中的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化，結(jié)合二面角的定義，確定∠AHC為二面角A-BD-C的平面角，方法二的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將直線的垂直及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．