Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若a＜

2

e2

，試判斷函數(shù)f（x）在x∈（1，e²）的零點個數(shù)，并說明你的理由；
（3）若f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：壓軸題,轉(zhuǎn)化思想,導數(shù)的綜合應用

分析：先求導．
對第（1）問，將a的值代入，得切線的斜率，接著求切點，利用點斜式得切線方程；
對第（2）問，思路一：先分“a≤0”和“a＞0”討論，當a≤0時，結論易見，當a＞0時，由極值點確定再次分類的標準，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、零點定理，根據(jù)區(qū)間的端點及圖象分析零點的個數(shù)，思路二：考慮方程f（x）=0，將參數(shù)a分離，將零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點問題，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而由兩函數(shù)圖象的位置關系確定零點個數(shù)；
對第（3）問，根據(jù)已知，將求證式進行等價轉(zhuǎn)換，最后通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性達到證明的目的．

解答： 解：在區(qū)間（0，+∞）上，f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

．
（1）當a=2時，切線的斜率k=f′(1)=

1-2×1

1

=-1，
又f（1）=ln1-2×1=-2，
由點斜式得切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．                                                                                 
（2）方法一：
（i）當a≤0時，f'（x）≥0，則f（x）在（1，e²）上單調(diào)遞增，
此時f（1）=-a≥0，∴f（x）在x∈（1，e²）沒有零點；                                                                                    
（ii）當a＞0時，令f'（x）=0，得x=

1

a

．
①當0＜a≤

1

e2

即

1

a

≥e2時，則
當x∈（1，e²），有f′（x）≥0，從而f（x）在（1，e²）單調(diào)遞增，
此時f（1）=-a＜0，f（e²）=lne²-ae²=2-ae²＞0，
∴f（x）在x∈（1，e²）有且只有一個零點．                                                                              
②當

1

e2

＜a＜

2

e2

即

e2

2

＜

1

a

＜e2時，則
當x∈(1，

1

a

)時，f′(x)＞0，f（x）在(1，

1

a

)單調(diào)遞增；
當x∈(

1

a

，e2)時，f′(x)＜0，f（x）在(

1

a

，e2)單調(diào)遞減．                                             
而f(

1

a

)=ln

1

a

-1＞0，f（1）=-a＜0，f（e²）=2-ae²＞0，
∴f（x）在x∈（1，e²）有且只有一個零點．                                                                                  
綜上，當a≤0時，f（x）在x∈（1，e²）沒有零點；
當0＜a＜

2

e2

時，函數(shù)f（x）有且只有一個零點．
方法二：由f（x）=0，得a=

lnx

x

，
函數(shù)f（x）在x∈（1，e²）的零點個數(shù)等價于函數(shù)y=a的圖象與函數(shù)y=

lnx

x

的圖象的交點個數(shù)，
令g（x）=

lnx

x

，則g′(x)=

1-lnx

x2

，
由g'（x）=0，得x=e，
在區(qū)間（1，e）上，g'（x）＞0，則函數(shù)g（x）是增函數(shù)，
∴g（1）＜g（x）＜g（e），即0＜g(x)＜

1

e

；
在區(qū)間（e，e²）上，g'（x）＜0，則函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
∴g（e²）＜g（x）＜g（e），即

2

e2

＜g(x)＜

1

e

．
∵a＜

2

e2

，∴當a≤0時，f（x）在x∈（1，e²）沒有零點；
當0＜a＜

2

e2

時，函數(shù)f（x）有且只有一個零點．
（3）原不等式x1•x2＞e2?lnx₁+lnx₂＞2．                                                         
不妨設x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴a（x₁+x₂）＞2?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

．                                                          
令

x1

x2

=t，則t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．
設函數(shù)h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，則h′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函數(shù)h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴h（t）＞h（1）=0，
即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，故所證不等式x1•x2＞e2成立．

點評：1．本題主要考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查的思想方法有分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結合，函數(shù)與方程思想等，綜合性強，屬壓軸題．
2．判斷函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，常用如下兩種方式處理：
（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間、極值與極值點、端點處的函數(shù)值，再根據(jù)零點存在性定理或零點唯一性定理判斷．
（2）令f（x）=0，將方程變形，把等式兩邊各看作一個函數(shù)，從而將零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題．
3．利用導數(shù)證明不等式，是高考的熱點之一，關鍵是構造適當?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點對應的函數(shù)值與0的關系．
運用導數(shù)證明不等式f（x）＞g（x）成立的一般步驟是：
（1）構造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）；
（2）求h'（x）；
（3）判斷h（x）的單調(diào)性，
（4）求h（x）的最小值或值域；
（5）證明[h（x）]_min＞0成立；
（6）從而得出結論．