Question

15．過拋物線x²=2py（p＞0且為常數(shù)）的焦點F作斜率為1的直線，交拋物線于A，B兩點，求證：線段AB的長為定值．

Answer 1

分析 直線l的方程為：$y=x+\frac{p}{2}$與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，利用弦長公式即可得出．

解答 證明：直線l的方程為：$y=x+\frac{p}{2}$…（2分）
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+\frac{p}{2}}\\{{x^2}=2py}\end{array}}\right.$得：${y^2}-3py+\frac{p^2}{4}=0$…（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達定理知y₁+y₂=3p…（12分）
所以AB=AF+BF=y₁+y₂+p=4p為定值…（16分）

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．