Question

17．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，故$\left\{\begin{array}{l}g（2）=1\\ g（4）=9\end{array}$解得：實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，則log₂k＞2或log₂k＜-2．解得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
因?yàn)閍＞0，
所以g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}g（2）=1\\ g（4）=9\end{array}$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0.\end{array}$…（6分）
（2）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1為偶函數(shù)．
所以不等式 f（log₂k）＞f（2）可化為   log₂k＞2或log₂k＜-2．
解得k＞4或0＜k＜$\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．