Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實常數(shù)），
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜-2時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知f′(x)=-

2

x

+2x=

2(x2-1)

x

，令f'（x）＞0，可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f′(x)=

a

x

+2x=

2(x2+ a 2 )

x

=0得x=

- a 2

＞1．由此入手可推出當(dāng)x=e時，f（x）_min=a+e²．
（3）由f（x）≤（a+2）x知alnx+x²-（a+2）x≤0，設(shè)g（x）=alnx+x²-（a+2）x，據(jù)題意，當(dāng)x∈[1，e]時，g（x）_min≤0，g′(x)=

a

x

+2x-(a+2)=

(2x-a)(x-1)

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

．再通過分類討論可知a的取值范圍是[-1，+∞）．

解答：解：（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x²，
∴f′(x)=-

2

x

+2x=

2(x2-1)

x

，
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．（2分）
（2）f′(x)=

a

x

+2x=

2(x2+ a 2 )

x

，
令f'（x）=0，由a＜-2，x＞0得x=

- a 2

＞1（3分）
①當(dāng)

- a 2

＜e，即-2e²＜a＜-2時，f（x）在[1，

- a 2

]遞減，在[

- a 2

，e]遞增，
∴當(dāng)x=

- a 2

時，f(x)min=aln

- a 2

-

a

2

．（5分）
②當(dāng)

- a 2

≥e，即a≤-2e²時，f（x）在[1，e]遞減，
∴當(dāng)x=e時，f（x）_min=a+e²．（7分）
（3）f（x）≤（a+2）x化為：alnx+x²-（a+2）x≤0，
設(shè)g（x）=alnx+x²-（a+2）x，據(jù)題意，
當(dāng)x∈[1，e]時，g（x）_min≤0，g′(x)=

a

x

+2x-(a+2)=

(2x-a)(x-1)

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

，（9分）
（�。┊�(dāng)

a

2

≤1即a≤2時，當(dāng)x∈[1，e]時，g'（x）≥0，∴g（x）遞增，
∴g（x）_min=g（1）=-1-a≤0，∴a≥-1，
∴-1≤a≤2；（11分）
（ⅱ）當(dāng)1＜

a

2

＜e即2＜a＜2e時，g（x）在[1，

a

2

]遞減，[

a

2

，e]遞增，
∴g(x)min=g(

a

2

)=a(ln

a

2

-

a

4

-1)，
∵ln

a

2

＜1，∴g（x）_min＜0，
∴2＜a＜2e符合題意；（13分）
（ⅲ）當(dāng)

a

2

≥e即a≥2e時，g（x）在[1，e]遞減，
∴g（x）_min=g（e）=a+e²-（a+2）e=（1-e）a+e²-2e≤2e（1-e）+e²-2e=-e²＜0，符合題意，（15分）
綜上可得，a的取值范圍是[-1，+∞）．（16分）

點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．