Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC，PA=

6

，PC=2

2

，PB=

10

，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：EF⊥平面PAC；
（3）求PC與平面ABC所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由中位線定理，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）先運用直徑所對的角為直角，及勾股定理的逆定理，再由線面垂直的判定定理，證得BC⊥平面PAC，由于EF∥BC，即可得證；
（3）運用線面垂直的判定定理，證得PA⊥平面ABC，即∠PCA為PC與平面ABC所成角，通過解直角三角形，即可得到．

解答： 證明：（1）在△PBC中，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點，所以EF∥BC．
又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
（2）因為AB是⊙O的直徑，所以BC⊥AC．
在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以AC=BC=

2

．
因為在△PCB中，PB=

10

，PC=2

2

，BC=

2

，
所以PB²=PC²+BC²，所以BC⊥PC．
又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．
由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．
（3）解：由（2）知BC⊥平面PAC，PA?平面PAC，所以PA⊥BC．
因為在△PAC中，PC=2

2

，PA=

6

，AC=

2

，
所以PC²=PA²+AC²，所以PA⊥AC．
又AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC．
所以∠PCA為PC與平面ABC所成角．
在Rt△PAC中，tan∠PAC=

PA

AC

=

3

，所以∠PCA=

π

3

，
即PC與平面ABC所成角的大小為

π

3

．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面平行的判定和線面垂直的判定和性質(zhì)及運用，考查空間直線和平面所成的角的求法，屬于中檔題．