Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC的中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：平面PBC⊥平面PBD；
（3）設Q為棱PC上一點，

PQ

=λ

PC

，試確定λ的值使得二面角Q-BD-P為45°．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）設PD的中點為F，連接EF，證明四邊形FABE是平行四邊形．利用直線與平面平行的判定定理證明BE∥平面PAD．
（2）過點B作BH⊥CD于H，證明BC⊥BD．PD⊥BC，通過直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PBD，（文科）求解BC=BD=

2

；（理科）利用直線與平面垂直的性質定理證明平面PBC平面PBD．
（3）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
求出相關點的坐標，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通過二面角結合數(shù)量積求解λ即可．

解答： 解：（1）證明：設PD的中點為F，連接EF，∵點E，F(xiàn)分別是△PCD的中點，
∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四邊形FABE是平行四邊形．
∴BE∥AF，又AF?平面PAD，EF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）在梯形ABCD中，過點B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．
又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°．
∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD?平面PCD，
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．
（3）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z
軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．
令Q（x₀，y₀，z₀），∵

PQ

=λ

PC

，Q（0，2λ，1-λ），
∵BC⊥平面PBD，
∴

BC

=

n

=(-1，1，0)即為平面PBD的法向量．
設平面QBD的法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • DB =0 m • DQ =0

即

x=-y z= 2λ λ-1 y

．令y=1，得

m

=(-1，1，

2λ

λ-1

)．
若二面角Q-BD-P為45°，
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

2 × 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，
解得λ=-1±

2

，
∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴λ=

2

-1．

點評：本題考查直線與平面垂直與平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求解與應用，平面與平面垂直與空間距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．