Question

19．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，則函數(shù)F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零點之和為1-2^a．

Answer 1

分析 函數(shù)F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零點轉(zhuǎn)化為：在同一坐標(biāo)系內(nèi)y=f（x），y=a的圖象交點的橫坐標(biāo)；作出兩函數(shù)圖象，考查交點個數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點的對稱性，根據(jù)奇函數(shù)f（x）在x≥0時的解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對稱性，求出答案．

解答 解：∵當(dāng)x≥0時，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x∈[0，1）}\\{1-|x-3|，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，
即x∈[0，1）時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+1）∈（-1，0]；
x∈[1，3]時，f（x）=x-2∈[-1，1]；
x∈（3，+∞）時，f（x）=4-x∈（-∞，-1）；
畫出x≥0時f（x）的圖象，
再利用奇函數(shù)的對稱性，畫出x＜0時f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）-a=0共有五個實根，
最左邊兩根之和為-6，最右邊兩根之和為6，
∵x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
∴f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1-x）^-1=log₂（1-x），
∴中間的一個根滿足log₂（1-x）=a，即1-x=2^a，
解得x=1-2^a，
∴所有根的和為1-2^a．
故答案為：1-2^a．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了利用函數(shù)零點與方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．