Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的圖象過點（1，0）且在此點處的切線斜率為1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間；
（2）若g（x）=

1

2

x²-mx+

3

2

，存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）由已知，得出f（1）=0，f′（1）=1，列方程組求出a，b，再利用f′（x）＜0得單調減區(qū)間
（2）轉化為f（x）≥g（x）在（0，+∞）上解集不空，即xlnx≥

1

2

x²-mx+

3

2

解集不空，也就是存在x使得m≥

1

2

x+

3

2x

-lnx成立，只需m≥（

1

2

x+

3

2x

-lnx）_min，通過求出（

1

2

x+

3

2x

-lnx）_min，得出實數(shù)m的取值范圍

解答： 解：（1）由已知可得f（1）=0，f′（1）=1，得b=0，a=1．f（x）=xlnx，f′（x）=1+lnx（x＞0）
由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（0，

1

e

）．
（2）存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即f（x）≥g（x）在（0，+∞）上解集不空．
?xlnx≥

1

2

x²-mx+

3

2

解集不空?存在x使得m≥

1

2

x+

3

2x

-lnx成立
?m≥（

1

2

x+

3

2x

-lnx）min，
設h（x）=

1

2

x+

3

2x

-lnx（x＞0），h′（x）=

1

2

-

3

2x2

-

1

x

=

(x+1)(x-3)

2x3

當0＜x＜3時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，當x＞3時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
所以h（x）最小值h（3）=2-ln3，∴實數(shù)m的取值范圍m≥2-ln3．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉化思想，考查學生綜合運用導數(shù)知識解決問題的能力．