Question

3．（1）求數(shù)列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n項的和
（2）已知數(shù)列{a_n}的前n項和s_n滿足s_n=2ⁿ⁺¹-1，求它的通項公式．

Answer 1

分析 （1）令數(shù)列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n項的和為S_n，利用分組求和即可求得數(shù)列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n項的和；
（2）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1=可求得a_n=2ⁿ，再驗證n=1時，是否適合，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：（1）令數(shù)列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n項的和為S_n，
則S_n=$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}+3\frac{1}{8}+4\frac{1}{16}+…+（n+\frac{1}{{2}^{n}}）$
=（1+2+…+n）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{n（1+n）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1{-（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{n（1+n）}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）∵S_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查分組求和法，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與運算求解能力，屬于中檔題．