Question

若正數a．b滿足a+b=1．則

1

a

+

4a

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,基本不等式

專題：導數的綜合應用

分析：利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵正數a．b滿足a+b=1．
∴b=1-a＞0，解得0＜a＜1．
則

1

a

+

4a

b

=

1

a

+

4a

1-a

=f（a），
f′（a）=-

1

a2

+

4

(1-a)2

=

4a2-(1-a)2

(a-a2)2

=

(a+1)(3a-1)

(a-a2)2

，
當0＜a＜

1

3

時，f′（a）＜0，此時函數f（a）單調遞減；當

1

3

＜a＜1時，f′（a）＞0，此時函數f（a）單調遞增．
∴當a=

1

3

，(b=

2

3

)時，函數f（a）取得極小值即最小值，f(

1

3

)=3+

4× 1 3

1- 1 3

=5，
∴則

1

a

+

4a

b

的最小值為5．
故答案為：5．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了計算能力，屬于基礎題．