Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0對(duì)x∈（0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[-2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，解出奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）的表達(dá)式，將這個(gè)表達(dá)式不等式af（x）+g（2x）≥0，通過(guò)變形可得a≥-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

，再通過(guò)換元，討論出右邊在x∈（0，1]的最大值，可以得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，g（x）為定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，結(jié)合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=

1

2

（2^x-2^-x），g（x）=

1

2

（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化簡(jiǎn)為

a

2

(2x-2 -x)  +

1

2

(2 2x+2-2x)  ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此將上面不等式整理，得：a≥-

22x+2-2x

2x-2-x

=-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

令t=2^x-2^-x，則t＞0
∴-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

=-(t+

2

t

)≤ -2

2

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥- 2

2

故答案為[-2

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查了函數(shù)求表達(dá)式以及不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì)，再結(jié)合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關(guān)鍵．