Question

9．已知函數(shù)f（x）=4sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$，其中常數(shù)ω＞0．
（1）若y=f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（2）若ω＜4，將函數(shù)y=f（x）圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，再向上平移1的單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且過P（$\frac{π}{6}，1$），求g（x）的解析式；
（3）在（2）問下，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，b]（a、b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含20個零點，在所以滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可得在ω＞0時，區(qū)間[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]是函數(shù)y=2sinωx的一個單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已知中函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調(diào)遞增，推出一個關于ω的不等式組，解不等式組，即可求出實數(shù)ω的取值范圍．
（2）由（1）及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換g（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$ω）+1，由g（x）的圖象過P（$\frac{π}{6}，1$），可解得ω=2k，k∈Z，結(jié)合范圍0＜w＜4，可求ω，即可得解g（x）的解析式．
（3）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的零點，求出x的值，可得b-a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$=2sinωx，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，在ω＞0時，
當x=-$\frac{π}{2ω}$，函數(shù)取得最小值，x=$\frac{π}{2ω}$函數(shù)取得最大值，
所以，區(qū)間[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]是函數(shù)y=2sinωx的一個單調(diào)遞增區(qū)間，
若函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調(diào)遞增，
則-$\frac{π}{2ω}$≤$-\frac{π}{3}$，且$\frac{π}{2ω}$≥$\frac{3π}{4}$，
解得0＜ω≤$\frac{2}{3}$，
（2）∵由（1）可得：f（x）=2sinωx，
∴將函數(shù)y=f（x）圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，再向上平移1的單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$ω）+1的圖象，
∵g（x）的圖象過P（$\frac{π}{6}，1$），
∴1=2sin（$\frac{π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$ω）+1，可得：2sin$\frac{π}{2}$ω=0，解得：$\frac{π}{2}$ω=kπ，k∈Z，即：ω=2k，k∈Z，
∵0＜w＜4，
∴ω=2，可得g（x）的解析式為：g（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1．
（3）∵g（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1．
∴g（x）的周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
在區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少有20個零點，
即 sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$在[a，b]上至少有20個解．
∴有 2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ-$\frac{5π}{6}$，或2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，
解得：x=kπ-$\frac{3π}{4}$，或x=kπ-$\frac{5π}{12}$，
令k從0取到9，可得x的最小值為a=-$\frac{3π}{4}$，x的最大值b=$\frac{103π}{12}$，
在所有滿足上述條件的[a，b]中，b-a的最小值為$\frac{103π}{12}$+$\frac{3π}{4}$=$\frac{28π}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．