Question

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)h(x)=x+

3

x

在[

3

，∞)上是增函數(shù)；
（2）我們可將問題（1）的情況推廣到以下一般性的正確結(jié)論：已知函數(shù)y=x+

t

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在(0，

t

]上是減函數(shù)，在[

t

，+∞)上是增函數(shù)．
若已知函數(shù)f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；又已知函數(shù)g（x）=-x-2a，問是否存在這樣的實數(shù)a，使得對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，請說明理由；如存在，請求出這樣的實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)推廣的結(jié)論，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用條件g（x₂）=f（x₁）成立，建立條件關(guān)系，即可求a．

解答：解：（1）設(shè)x1，x2∈[

3

，+∞)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1+

3

x1

-x2-

3

x2

=

(x1-x2)(x1x2-3)

x1x2

，
∵x2＞x1≥

3

，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞3．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，函數(shù)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）∵y=f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
設(shè)u=2x+1，x∈[0，1]，
則1≤u≤3，
則y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，
由已知性質(zhì)得，
當(dāng)1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

時，f（x）單調(diào)遞減，
∴遞減區(qū)間為[0，

1

2

]，
當(dāng)2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1時，f（x）單調(diào)遞增，
∴遞增區(qū)間為[

1

2

，1]．
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，
得f（x）的值域為[-4，-3]，
由于g（x）=-x-2a為減函數(shù)，
故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
由題意，f（x）的值域為g（x）的值域的子集，
從而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

，
∴a=

3

2

，
∴存在滿足條件的值．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的理解和應(yīng)用能力．