Question

如圖，正方形ABCD的邊長是a，依次連接正方形ABCD各邊中點得到一個新的正方形，再依次連接新正方形各邊中點又得到一個新的正方形，依此得到一系列的正方形，如圖所示．現(xiàn)有一只小蟲從A點出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向爬行，每遇到新正方形的頂點時，沿這個正方形的邊逆時針方向爬行，如此下去，問爬行2n條線段的長度的平方和是多少？

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)中位線定理，每一次連接得到的正方形的邊長是上一個正方形對角線的一半，即可得到第一、二、三次連接得到的正方形的邊長，依此類推找出規(guī)律，可得出第n次圍出的正方形的邊長，再由題意和運用等比數(shù)列的前n項和公式即可．

解答： 解：由題意得，每一次連接得到的正方形的邊長是上一個正方形對角線的一半，
根據(jù)中位線定理得：
第一次連接得到的正方形的邊長為

2

2

a，第二次連接得出的正方形的邊長為(

2

2

)2a=

1

2

a，
第三次次連接得出的正方形的邊長為

2

4

a，…
綜上可得第2n次圍出的正方形邊長為（

2

2

）²ⁿa．
由題意知，一只小蟲在每個正方形爬行的線段的長度是此正方形的邊長的一半，
所求的2n條線段的長度的平方和是：
s=

1

2

{（

2

2

a）²+[(

2

2

)2a]²+（

2

4

a）²+…+[（

2

2

）²ⁿa]²}
=

a2

4

[1+（

2

2

）²+（

2

2

）⁴+…+（

2

2

）^2（2n-1）]=

a2

4

×

1-( 1 2 )2n

1- 1 2

=

a2

2

•[1-(

1

4

)n]．

點評：本題以圖形的變化為載體，考查了歸納推理的應(yīng)用，中位線定理，等比數(shù)列的前n項和公式，解題的關(guān)鍵是通過觀察、歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，求出第n次圍出的正方形的邊長．