Question

（2013•茂名一模）已知x、y滿足約束條件

x+y≤3 x-y≥-1 y≥1

若0≤ax+by≤2，則

b+2

a+1

的取值范圍為（　　）

A．[0，1]

B．[1，10]

C．[1，3]

D．[2，3]

Answer 1

分析：作出題中不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（0，1），B（2，1），C（1，2）．因?yàn)椴坏仁?≤ax+by≤2對(duì)約束條件的所有x、y都成立，所以可得關(guān)于a、b的不等式組成立，在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的平面區(qū)域并利用P（-1，-2）、Q（a，b）兩點(diǎn)連線的斜率，即可得到

b+2

a+1

的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x+y≤3 x-y≥-1 y≥1

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（0，1），B（2，1），C（1，2）
∵不等式0≤ax+by≤2對(duì)于約束條件的所有x、y都成立
∴記F（x，y）=ax+by，可得

F(0，1)=b∈[0，2] F(2，1)=2a+b∈[0，2] F(1，2)=a+2b∈[0，2]

即

0≤b≤2 0≤2a+b≤2 0≤a+2b≤2

，在aob坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域，
得到如圖的四邊形MKNO及其內(nèi)部，
其中M（1，0），K（

2

3

，

2

3

），N（-

2

3

，

4

3

），O是坐標(biāo)原點(diǎn)
而k=

b+2

a+1

表示點(diǎn)P（-1，-2）與Q（a，b）連線的斜率，
點(diǎn)Q是四邊形MKNO內(nèi)部或邊界一點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q可得：當(dāng)Q與M重合時(shí)，k達(dá)到最小值，k_min=

0+2

1+1

=1
當(dāng)Q與N重合量，k達(dá)到最大值，k_max=

4 3 +2

- 2 3 +1

=10
∴

b+2

a+1

的取值范圍為[1，10]
故答案為：[1，10]

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，在0≤ax+by≤2恒成立的情況下，求

b+2

a+1

的取值范圍．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．