Question

已知橢圓C₁：的離心率為，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）點(diǎn)N是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，連接NP并延長交橢圓右準(zhǔn)線與點(diǎn)T，求的取值范圍；
（3）設(shè)曲線與y軸的交點(diǎn)為M，過M作兩條互相垂直的直線與曲線C₂、橢圓C₁相交于點(diǎn)A、D和B、E，（如圖），記△MAB、△MDE的面積分別是S₁，S₂，當(dāng)時，求直線AB的方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C₁：的離心率為，
一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，∴a=2，c=，b=，
∴橢圓C₁的方程為：．
（2）∵N是橢圓C₁：的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，
∴N（﹣2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=，
設(shè)P（x，y），則=，
∵﹣2≤x≤2，∴=∈[，+∞）．
故的取值范圍是[，+∞）．
（3）設(shè)直線MA的斜率為k₁，則直線MA的方程為y=k₁x﹣1．
由，解得，或．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k₁，k₁²﹣1）．
又直線MB的斜率為﹣，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣）．
于是S₁=|MA||MB|=|k₁||﹣|=．
由，得（1+4k₁²）x²﹣8k₁x=0．
解得，或，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．
又直線ME的斜率為﹣．
同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）．
于是S₂=|MD||ME|=．
故=，
解得k₁²=2，或k₁²=．
又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得，k==k₁﹣．
所以k=±．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，
其方程為y=x和y=﹣．