Question

求下列函數的值域：
（1）f(x)=2sin(x+

π

6

)，x∈[

π

6

，

7π

6

]
（2）f（x）=2cos²x+3sinx+3．

Answer 1

分析：（1）通過x的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數的值域求出函數的最值即可．
（2）換元，將函數轉化為二次函數，利用配方法，即可求得函數的值域．

解答：解：（1）∵x∈[

π

6

，

7π

6

]，∴x+

π

6

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴2sin

4π

3

≤2sin(x+

π

6

)≤2sin

π

2

，
∴-

3

≤f(x)≤2．
函數f（x）的值域：[-

3

，2]．
（2）令t=sinx，（t∈[，1]），則y=2（1-t²）+3t+3=-2（t-

3

4

）²+

49

8

∵t∈[-1，1]），
∴t=

3

4

或1時，y_max=

49

8

，
當t=-1時，y_min=0，∴函數的值域為：[0，

49

8

]
函數f（x）=2cos²x+3sinx+3的值域：[0，

49

8

]．

點評：本題考查函數的值域，解題的關鍵是換元，將函數轉化為二次函數，利用配方法求解．