Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求過點A（2，2）的切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax3+bx2+cx的導數為f'（x）=3ax2+2bx+c，

依題意 ，

又f'（0）=﹣3即c=﹣3

∴a=1，b=0，

∴f（x）=x3﹣3x

（2）解：設切點為（x0，x03﹣3x0），

∵f'（x）=3x2﹣3∴切線的斜率為f'（x0）=3x02﹣3，

∴切線方程為y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），

又切線過點A（2，2），

∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），

∴2x03﹣6x02+8=0，即為2（x0+1）（x0﹣2）2=0，

解得x0=﹣1或2，

可得過點A（2，2）的切線斜率為0或9，

即有過點A（2，2）的切線方程為y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），

即為y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0

【解析】（1）由函數f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為﹣3，求導，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=﹣3，解方程組即可求得，a，b，c的值，從而求得f（x）的解析式；（2）設切點，求切線方程，得到2=﹣2x03+6x02﹣6，解方程可得x0 ， 運用點斜式方程，進而得到所求切線的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本求導法則的相關知識，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導．