Question

18．拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上的一點，已知|AF|=3，直線OA的斜率為$\sqrt{2}$（O為坐標原點）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，設l₁與C交于B、D兩點，l₂與C交于C、E兩點，求四邊形BCDE面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₀，y₀），由已知得：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}_{\;}+\frac{p}{2}=3}\\{\frac{y_0}{x_0}=\sqrt{2}}\\{y_0^2=2p{x_0}}\end{array}}\right.$，即可求拋物線C的方程；
（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，求出|BD|，|CE|，可得面積，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解（1）設A（x₀，y₀），由已知得：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}_{\;}+\frac{p}{2}=3}\\{\frac{y_0}{x_0}=\sqrt{2}}\\{y_0^2=2p{x_0}}\end{array}}\right.$…（3分）
解得：p=2，故求拋物線C的方程為y²=4x…（4分）
（2）由已知直線l₁的斜率存在且不為0，設其方程為y=k（x-1）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0…（5分）
∵△＞0，設B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）所以${x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}$，
∴$|BD|={x_1}+{x_2}+2=4（1+\frac{1}{k^2}）$…（7分）
同理設C（x₃，y₃）、E（x₄，y₄）
所以${x_3}+{x_4}=2+4{k^2}$，∴$|CE|={x_3}+{x_4}+2=4（1+{k^2}）$…（9分）
設四邊形BCDE的面積$S=\frac{1}{2}|BD||CE|=8（2+{k^2}+\frac{1}{k^2}）≥32$…（11分）
當且僅當k=±1時，四邊形BCDE的面積取得最小值32．…（12分）

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、基本不等式的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．